Tableaux para o cálculo proposicional

Considerando p e q duas variáveis proposicionais (em seu lugar podem ser substituídas proposições quaisquer; lembrando que toda afirmação é algo que pode ser expressado linguisticamente por meio de uma frase declarativa e é ou verdadeiro ou falso, mas não ambos; lembrando também que toda afirmação tem um conteúdo e que esse conteúdo estamos chamando de proposição), abaixo damos as regras elementares de contrução de tableaux para cada um dos conectivos lógicos proposicionais:

Negação (não) lê-se “não é o caso que”

V ~p      F ~p
   |              |
F p          V p

Conjunção (e) lê-se “e”

V p∧q      F p∧q
      |              /   \
   V p        F p   F q
   V q

Disjunção inclusiva (e/ou) lê-se “ou”

 V p∨q        F p∨q
     /   \            |
V p   V q       F p
                     F q

Implicação (condicional) lê-se “se...então”

 V p→q       F p→q
     /   \               |
F p   V q        V p
                      F q

Equivalência (bicondicional) lê-se “se e somente se”

 V p↔q          F p↔q
     /    \             /    \
V p   F p       V p   F p
V q   F q       F q   V q


A partir dessas regras podemos construir tableaux seja para fórmulas do cálculo proposicional (uma fórmula representa a estrutura lógico-proposicional de uma proposição) seja para formas de argumento (composta de fórmulas no papel de premissas e uma fórmula no papel da conclusão). Um exemplo de tableaux para uma fórmula é o seguinte:

 V p∧~p         F p∧~p
       |                  /   \
     F p             V p   F p
    V p
      X

O caso da fórmula p∧~p é bastante interessante, ela é uma antinomia, isto é, é sempre falsa. Dizemos que as proposições que têm a forma p∧~p são contradições. Nenhuma afirmação cujo conteúdo seja uma proposição dessa forma pode ser verdadeira, será sempre falsa, independente da proposição que venha a ser posta no lugar da variável proposicional p. Observe que o X marca exatamente o FECHAMENTO do caminho, ou seja a impossibilidade de que uma proposição da forma p∧~p seja verdadeira, pois para tanto uma única e mesma proposição p deveria ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Por outro lado, olhando para o tableau mais a direita, qualquer que seja o caso, seja a proposição p verdadeira, seja a proposição p falsa, a proposição de forma p∧~p será falsa.
Os tableaux podem ser aplicados de modo simples para determinar se a estrutura proposicional de uma argumento é válida ou inválida (lembrando que a validade consiste em dizer que a conclusão necessariamente se segue das premissas, ou ainda, que é impossível que a conclusão seja falsa, quando as premissas são todas verdadeiras). Assim, basta testar se é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa para uma forma de argumento. Se for possível então o argumento não é válido, se for impossível, isto é, se todos os caminhos fecham, então ela é válida. Veja o seguinte exemplo:

   V p
   V p→q
∴ F q
    /    \
F p   V q
 X      X

A forma de argumento acima, chamada de modus ponens é válida, pois os dois caminhos possíveis para tentar fazer as duas premissas verdadeiras e a conclusão falsa fecham. No primeiro caminho teríamos que fazer a proposição p  verdadeira e falsa ao mesmo tempo, o que é impossível. No segundo caminho teríamos que fazer a proposição q verdadeira e falsa ao mesmo tempo, o que também é impossível. Mas não restam caminhos possíveis, portanto é impossível fazer as premissas verdadeiras e a conclusão falsa (definição de validade), logo a forma de argumento é válida.