I Prova

Próxima terça, dia 31 de agosto, faremos a primeira prova sobre o conteúdo até aqui trabalhado.

Exercícios de Lógica Proposicional

Abaixo damos alguns exercícios de lógica proposicional em que o aluno deve procurar determinar a estrutura lógico-proposicional das proposições (isto é a fórmula que corresponde a elas); usar os tableaus para averiguar verdade, falsidade e/ou equivalência entre as proposições, assim como averiguar quando estamos em presença de um argumento cuja estrutura proposicional (as fórmulas que correspondem às premissas e à conclusão) é válida ou não:

1 - A negação da afirmação condicional “se Ana viajou, Paulo viajou” é:
a) Ana não viajou e Paulo viajou.
b) se Ana não viajou, Paulo viajou.
c) Ana viajou e Paulo não viajou.
d) Ana não viajou e Paulo não viajou.
e) se Ana viajou, Paulo não viajou.

2 - Pedro toca piano se e somente se Vítor toca violino. Ora, Vítor toca violino, ou Pedro toca piano. Logo,
a) Pedro toca piano, e Vítor não toca violino.
b) se Pedro toca piano, então Vítor não toca violino.
c) se Pedro não toca piano, então Vítor toca violino.
d) Pedro não toca piano, e Vítor toca violino.
e) Pedro toca piano, e Vítor toca violino.

(vimos que esta questão acima tem duas respostas corretas)

3 - Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica no
castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Logo:
a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre.
b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.
c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz.
d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre.
e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre.

4 - O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação, é correto concluir que:
a) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que o departamento de qualidade seja acionado.
b) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de
qualidade seja acionado.
c) a abertura de um processo interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de
qualidade seja acionada.
d) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal.
e) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno poderá ser aberto.

5 - Dizemos que uma tautologia é uma proposição verdadeira independente das proposições simples que a compõem, ou seja, cuja verdade está garantida pela sua forma lógico-proposicional. Qual das fórmulas abaixo é uma tautologia:
a) ~p∨~q
b) (p∨q)→p
c) p↔~p
d) q→(q∨p)
e) p→(p∧q)

6 - Dizemos que um antinomia (alguns autores usam o termo contradição) é uma proposição falsa independente das proposições simples que a compõem, ou seja, cuja falsidade está garantida pela sua forma lógico-proposicional. Qual das fórmulas abaixo é uma antinomia:
a) ~p∨~q
b) (p∨q)→p
c) p↔~p
d) q→(q∨p)
e) p→(p∧q)

7- Determine para cada uma das formas argumentativas abaixo se ela válida ou inválida:
p→r
q→r
∴ (p∨q)→r

p↔q
~(p∧r)
∴~q

Esta última questão não poderá ser solucionada com o auxílio do cálculo proposicional, mas você pode empregar sua engenhosidade para encontrar a resposta:

8 - Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde, azul e rosa. Em cada uma das
três salas encontra-se uma e somente uma pessoa – em uma delas encontra-se Luís; em outra, encontra-se
Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma das salas existe uma inscrição, a saber:
Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”
Sala azul: “Carla está na sala de porta verde”
Sala rosa: “Luís está aqui”.
Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a inscrição na porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações, Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se, respectivamente,
a) Diana, Luís, Carla
b) Luís, Diana, Carla
c) Diana, Carla, Luís
d) Carla, Diana, Luís
e) Luís, Carla, Diana

Tableaux para o cálculo proposicional

Considerando p e q duas variáveis proposicionais (em seu lugar podem ser substituídas proposições quaisquer; lembrando que toda afirmação é algo que pode ser expressado linguisticamente por meio de uma frase declarativa e é ou verdadeiro ou falso, mas não ambos; lembrando também que toda afirmação tem um conteúdo e que esse conteúdo estamos chamando de proposição), abaixo damos as regras elementares de contrução de tableaux para cada um dos conectivos lógicos proposicionais:

Negação (não) lê-se “não é o caso que”

V ~p      F ~p
   |              |
F p          V p

Conjunção (e) lê-se “e”

V p∧q      F p∧q
      |              /   \
   V p        F p   F q
   V q

Disjunção inclusiva (e/ou) lê-se “ou”

 V p∨q        F p∨q
     /   \            |
V p   V q       F p
                     F q

Implicação (condicional) lê-se “se...então”

 V p→q       F p→q
     /   \               |
F p   V q        V p
                      F q

Equivalência (bicondicional) lê-se “se e somente se”

 V p↔q          F p↔q
     /    \             /    \
V p   F p       V p   F p
V q   F q       F q   V q


A partir dessas regras podemos construir tableaux seja para fórmulas do cálculo proposicional (uma fórmula representa a estrutura lógico-proposicional de uma proposição) seja para formas de argumento (composta de fórmulas no papel de premissas e uma fórmula no papel da conclusão). Um exemplo de tableaux para uma fórmula é o seguinte:

 V p∧~p         F p∧~p
       |                  /   \
     F p             V p   F p
    V p
      X

O caso da fórmula p∧~p é bastante interessante, ela é uma antinomia, isto é, é sempre falsa. Dizemos que as proposições que têm a forma p∧~p são contradições. Nenhuma afirmação cujo conteúdo seja uma proposição dessa forma pode ser verdadeira, será sempre falsa, independente da proposição que venha a ser posta no lugar da variável proposicional p. Observe que o X marca exatamente o FECHAMENTO do caminho, ou seja a impossibilidade de que uma proposição da forma p∧~p seja verdadeira, pois para tanto uma única e mesma proposição p deveria ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Por outro lado, olhando para o tableau mais a direita, qualquer que seja o caso, seja a proposição p verdadeira, seja a proposição p falsa, a proposição de forma p∧~p será falsa.
Os tableaux podem ser aplicados de modo simples para determinar se a estrutura proposicional de uma argumento é válida ou inválida (lembrando que a validade consiste em dizer que a conclusão necessariamente se segue das premissas, ou ainda, que é impossível que a conclusão seja falsa, quando as premissas são todas verdadeiras). Assim, basta testar se é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa para uma forma de argumento. Se for possível então o argumento não é válido, se for impossível, isto é, se todos os caminhos fecham, então ela é válida. Veja o seguinte exemplo:

   V p
   V p→q
∴ F q
    /    \
F p   V q
 X      X

A forma de argumento acima, chamada de modus ponens é válida, pois os dois caminhos possíveis para tentar fazer as duas premissas verdadeiras e a conclusão falsa fecham. No primeiro caminho teríamos que fazer a proposição p  verdadeira e falsa ao mesmo tempo, o que é impossível. No segundo caminho teríamos que fazer a proposição q verdadeira e falsa ao mesmo tempo, o que também é impossível. Mas não restam caminhos possíveis, portanto é impossível fazer as premissas verdadeiras e a conclusão falsa (definição de validade), logo a forma de argumento é válida.

Cálculo Proposicional

No link a seguir os alunos têm à disposição um material descrevendo o cálculo proposicional e os conectivos lógicos proposicionais acompanhados de alguns exercícios:

Cálculo Proposicional

Um Exemplo de Argumentação

Considere o seguinte exercício extraído da prova de um concurso público:

Todo amigo de Luiza é filho de Marcos. Todo primo de Carlos, se não for irmão de Ernesto, ou é amigo de
Luiza ou é neto de Tânia. Ora, não há irmão de Ernesto ou neto de Tânia que não seja filho de Marcos. Portanto, tem-se, necessariamente, que:

a) todo filho de Marcos é irmão de Ernesto ou neto de Tânia.
b) todo filho de Marcos é primo de Carlos.
c) todo primo de Carlos é filho de Marcos.
d) algum irmão de Ernesto é neto de Tânia.
e) algum amigo de Luiza é irmão de Ernesto.

Responder a esta questão demanda tempo e raciocínio. Para ter a certeza de encontrar a resposta correta, precisamos desenvolver algum mecanismo ou teoria que permita avaliar de forma cabal qual das respostas é a resposta adequada.

Na Lógica procuramos estudar a estrutura dos argumentos e lançar as bases de uma teoria de formas lógicas que permitam resolver problemas como o problema acima.

No texto acima a palavra "portanto"  desempenha um papel relevante. Ela que indica que estamos em presença de um argumento (existem outras expressões que cumprem papel similar). Todo argumento deve ter uma tese ou CONCLUSÃO. O objetivo do argumento é sempre o de sustentar, justificar da melhor forma possível, a conclusão. A conclusão no caso acima é dada por uma das cinco afirmações alternativas.

Todo argumento tem uma conclusão e uma ou mais afirmações que são empregadas como justificativa ou informações de partida para a conclusão. No caso acima, todas as afirmações que antecedem a palavra "portanto" têm esse papel. Chamamos essas afirmações de partida de PREMISSAS.

Afirmações podem ser verdadeiras ou falsas e usualmente as expressamos por intermédio de frases declarativas. Afirmações diferentes podem expressar uma mesma idéia, expressar um mesmo conteúdo ou mesmo sentido. Por exemplo as senteças "Brad Pitt is a moviestar", "Brad Pitt é um astro de cinema" e "O marido da Anjolina Jolie é um astro de cinema", todas expressam a mesma idéia, o mesmo conteúdo e por isso podemos dizer que estas frases declarativas expressam a mesma PROPOSIÇÃO (eventualmente, para alguns autores, o fato de usar um sujeito que seja uma descrição definida como "o marido da Anjelina Jolie" ao invés de usar o nome "Brad Pitt" poderia dar surgimento a diferentes proposições; para os propósitos desta disciplina, não consideraremos essa diferença relevante). Assim, se as afirmções podem ser verdadeiras ou falsas, como para cada afirmação existe um certo conteúdo associado (enunciável por meio de uma frase declarativa), ou seja, uma proposição, diremos que as proposições ou são verdadeiras ou falsas.

A Lógica procura desenvolver teorias que expliquem quando um ARGUMENTO é VÁLIDO. Com referência ao exemplo acima, o argumento válido é aquele constituído por premissas e conclusão tal que a conclusão TEM QUE NECESSARIAMENTE SE SEGUIR DAS PREMISSAS. Em outros termos, independente de saber se as premissas são verdadeiras ou não, um argumento válido é aquele em que existe PRESERVAÇÃO DA VERDADE. Formulando ainda de outro modo, um argumento válido é aquele em que, se as premissas forem verdadeiras, é impossível que a conclusão seja falsa. Obviamente a maioria de nossos argumentos não é válida nesse sentido, embora nem por isso deixem de ter utilidade.

Um Teorema da Geometria Euclidiana

No Primeiro Livro da Geometria Euclidiana além de certas informações iniciais encontramos PROVAS de certas afirmações matemáticas. Essas afirmações são chamadas de "teoremas". Um dos últimos teoremas do Primeiro Livro é exatamente o Teorema de Pitágoras. A prova deste teorema acompanha a afirmação dessa relação entre os lados do triângulo. Na prova são usados não só certas definições iniciais mas também outras afirmações  (teoremas) que foram provadas previamente. É somente a posse de uma prova que garante o conhecimento matemático. A prova de um teorema matemático é um argumento e esse argumento deixa claro que a afirmação é verdadeira. A Lógica é desde o seu começo histórico uma disciplina que estuda os passos (chamados de passos lógicos) dentro de uma argumentação probatória, como essa do Teorema de Pitágoras. Nem todos os enunciados que compõem o argumento da prova são obtidos de passos estritamente lógicos. Neste ponto entram aqueles conhecimentos que são específicos do tema em questão. Aos poucos nos familiarizaremos com os passos lógicos que uma prova pode conter.

Para visualizar uma página web com uma versão do Teorema de Pitágoras clique aqui

(Dica: infelizmente o texto na página web está em inglês, mas você pode obter uma tradução do texto clicando aqui e inserindo o endereço da página web do Teorema de Pitágoras no campo aberto do tradutor)

Conteúdo Programático

UNIDADE ACADÊMICA RESPONSÁVEL: FACULDADE  DE FILOSOFIA
NOME DA DISCIPLINA: Tópicos de Filosofia: Lógica e Direito
CURSO: Filosofia	ANO: II Sem. 2010
PROFESSOR RESPONSÁVEL: Dr. Wagner de Campos Sanz
CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 64 ha
CARGA HORÁRIA SEMANAL*: 4 ha                            (CH/Teórica:   4ha      CH/Prática: 0)
PRÉ-REQUISITOS E/OU CO-REQUISITOS (se houver): nenhum
RECOMENDAÇÕES: Indicado aos alunos do Curso de Direito e do Curso de Filosofia
EMENTA: As relações entre a Lógica contemporânea, a Ciência Jurídica e a pragmática jurídica tem sido objeto de investigação crescente desde a segunda metade do séc. XX. Por um lado, o caráter formal das normas pode ser tratado via lógica deôntica; por outro lado, a própria práxis argumentativa pode ser examinada sob um ponto de vista metodológico em que a noção de dedução lógica entra como elemento pivotal na constituição de uma filosofia do direito e/ou da teoria pura do direito. O propósito da presente disciplina é o de oferecer uma introdução conceitual à Lógica nas suas relações e aplicações ao Direito.
I – OBJETIVO GERAL: Dar uma visão introdutória de conceitos basilares da Lógica, relevantes para o Direito. II – OBJETIVO ESPECIFÍCO: Oferecer formação que permita aos alunos a apropriação e o uso dos conceitos de argumento válido, asserção, norma, validade, verdade no âmbito da Lógica e do Direito. III – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: 1) Um pouco de história da lógica                 1.1) Aristóteles                 1.2) A Geometria e a noção de demonstração                 1.3) A lógica a partir do séc. XIX 2) Cálculo Proposicional                 2.1) Asserção e proposição                 2.3) Os conectivos proposicionais                 2.4) Tabelas de verdade                 2.5) Validade de um argumento 3) Direito e Lógica                 3.1) O conceito de norma                 3.2) Validade de uma norma                 3.3) Argumentação e Validade                 3.1) O debate Krug-Kelsen 4) Rudimentos de Lógica Deôntica                 4.1) A noção de operador modal na Lógica                 4.2) A interpretação deôntica dos operadores modais                 4.3) O hexágono deôntico de Blanché IV – METODOLOGIA: Aulas expositivas e aulas de resolução de exercícios acerca do conteúdo apresentado.   V – AVALIAÇÃO: Por meio de prova segundo os moldes do RGCG. VI – BIBLIOGRAFIA: Introdução à Lógica, I.M. Copi; Lógica, J.Nolt & D.Rohatyn; Lógica Elementar, B. Mates; Estruturas Lógicas e o Sistema de Direito Positivo, L. Vilanova; Kelsen-Klug - Normas Jurídicas e Análise Lógica , P. Bonavides; Teoria Pura do Direito, H. Kelsen; Norm and Action, G. Von Wright, http://www.giffordlectures.org/Browse.asp?PubID=TPNORM&Cover=TRUE (bibliografia complementar); Deontic Logic, G. Von Wright, http://filosofia.fi/tallennearkisto/tekstit/4537 (bibliografia complementar); Verbete: Deontic Logic, P. McNamara, Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/logic-deontic/ (bibliografia complementar)